logo
Назад Далее
Главная
Содержание
Ссылки
Студентам

Версия для печати

Содержание раздела
9. Числовые характеристики двумерных случайных величин. 10. Функция одного и двух случайных аргументов. 11. Нормальный закон распределения на плоскости. 12. Распределения "хи-квадрат", Стьюдента и Фишера. 13. Закон больших чисел. 14. Предельные теоремы. 15. Основные понятия математической статистики. 16. Числовые характеристики статистического распределения. >> Дальше с 17 - 24
Лекция 9.

Некоторые числовые характеристики одномерных случайных величин: начальные и центральные моменты, мода, медиана, квантиль, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Числовые характеристики двумерных случайных величин: начальные и центральные моменты. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость случайных величин.

Определение 9.1. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется матема-тическое ожидание величины Xk:

                                         νk = M (Xk).                                                                    (9.1)

В частности, ν1 = М(Х),  ν2 = М(Х2). Следовательно, дисперсия   D(X) = ν2ν1².

Определение 9.2. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется мате-матическое ожидание величины (Х – М(Х))k:

                                   μk = M((Х – М(Х))k).                                                         (9.2)

В частности, μ1 = M(Х – М(Х)) = 0, μ2 = M((Х – М(Х))2) = D(X).

Можно получить соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

             

                 

  Мода и медиана.   

Такая характеристика случайной величины, как математическое ожидание, называется иногда характеристикой положения, так как она дает представление о положении случайной величии-ны на числовой оси. Другими характеристиками положения являются мода и медиана.

Определение 9.3. Модой М дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, модой М непрерывной случайной величины – значение, в котором плотность вероятности максимальна.

Пример 1.

Если ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

            Х

           1

          2

         3

          4

            р

           0,1

       0,7

        0,15

         0,05  

то М = 2.

Пример 2.

Для непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения , модой является абсцисса точки максимума: М = 0.

Замечание 1. Если кривая распределения имеет больше одного максимума, распределение называется полимодальным, если эта кривая не имеет максимума, но имеет минимум – анти-модальным.

Замечание 2. В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают. Но, если распре-деление является симметричным и модальным (то есть кривая распределения симметрична от-носительно прямой х = М) и имеет математическое ожидание, оно совпадает с модой.

Определение 9.4. Медианой Ме непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого

                                           p( X < Me ) = p( X > Me ).                                                        (9.3)

Графически прямая х = Ме делит площадь фигуры, ограниченной кривой распределения, на две равные части.

Замечание. Для симметричного модального распределения медиана совпадает с математичес-ким ожиданием и модой.

Определение 9.5. Для случайной величины Х с функцией распределения F(X) квантилью порядка р (0 < p < 1) называется число Кр такое, что F(Kp) ≤ p, F(Kp + 0) ≥ p. В частности, если F(X) строго монотонна, Кр: F(Kp) = p.

                                          

Асимметрия и эксцесс.

Если распределение не является симметричным, можно оценить асимметрию кривой распреде-ления с помощью центрального момента 3-го порядка. Действительно, для симметричного распределения все нечетные центральные моменты равны 0 ( как интегралы от нечетных функ-ций  в симметричных пределах), поэтому выбран нечетный момент наименьшего порядка, не тождественно равный 0. Чтобы получить безразмерную характеристику, его делят на  σ3 (так как μ3 имеет размерность куба случайной величины).

Определение 9.6. Коэффициентом асимметрии случайной величины называется

                                                               .                                                       (9.4)

                    Рис.1.                                                                             Рис.2.

В частности, для кривой, изображенной на рис.1,  Sk > 0, а на рис.2 -  Sk < 0.  

Для оценки поведения кривой распределения вблизи точки максимума (для определения того, насколько «крутой» будет его вершина) применяется центральный момент 4-го порядка.

Определение 9.7. Эксцессом случайной величины называется величина

                                                                                                 (9.5)

Замечание. Можно показать, что для нормального распределения , и, соответственно,  Ех = 0. Для кривых с более острой вершиной Ех >0, в случае более плоской вершины Ех < 0.

     

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Такие характеристики, как начальные и центральные моменты, можно ввести и для системы двух случайных величин.

Определение 9.8. Начальным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y) называется математическое ожидание произведения Xk на Ys:

                                                            αk,s = M (XkYs).                                               (9.6)

  Для дискретных случайных величин   для непрерывных случайных величин

Определение 9.9. Центральным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y) называется математическое ожидание произведения (XM(X))k на (YM(Y))s:

                                                      μk,s = M((X – M(X))k(Y – M(Y))s).                       (9.7)

Для дискретных случайных величин для непрерывных случайных величин

При этом М(Х) = α1,0M(Y) = α0,1D(X) = μ2,0D(Y) = μ0,2.

  

Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Определение 9.10. Корреляционным моментом системы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:

                                         Kxy = μ1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))).                               (9.8)

Для дискретных случайных величин                          для непрерывных случайных величин            

Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффи-циент корреляции

                                                       .                   (9.9)    

   Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной вели-чины. Действительно, убедимся, что для независимых Х и Y  Kxy = 0. В этом случае f(x,y) =  =f1(x)f2(y), тогда

    

Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Однако понятия коррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимы-ми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. В частности, если  Y = aX + b, то rxy = ±1.             Найдем возможные значения коэффициента корреляции.

Теорема 9.1. 

Доказательство. Докажем сначала, что  Действительно, если рассмотреть случай-ную величину  и найти ее дисперсию, то получим:. Так как дисперсия всегда неотрицательна, то  откуда  Отсюда  что и требовалось доказать.


© ПГАТИ. Кафедра высшей математики.
Site Created by MDL Group - © 2005–2006 MDL Group. All rights reserved.