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1. . . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. ( ). >> 9 - 16
8.

( ). - . - , . - . - . .

, - , . . - , ( ), - . .

.

1. .

(, Y) , p(xi, yj), (xi, yj):

Y

x1

x2

xi

xn

y1

p(x1, y1)

p(x2, y1)

p(xi, y1)

p(xn, y1)

yj

p(x1, yj)

p(x2, yj)

p(xi, yj)

p(xn, yj)

ym

p(x1, ym)

p(x2, ym)

p(xi, ym)

p(xn, ym)

, , 1.

, - . , = 1 (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2),, (X = x1, Y = ym),

( = 1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) ++ p(x1, ym) ( , , = 1). . Y , , Y = yj.

1. :

Y

X

-2

3

6

-0,8

0,1

0,3

0,1

-0,5

0,15

0,25

0,1

.

. , - :

-2

3

6

0,25

0,55

0,2

, Y:

Y

-0,8

-0,5

p

0,5

0,5

2. .

8.1. F(x, y) (X, Y) , X < x, a Y < y:

F( , ) = p ( X < x, Y < y ). (8.1)

y

.1.

, (X, Y) , . 1, (, ).

. , .

.

1)      0 ≤ F(x, y) ≤ 1 ( F(x, y) ).

2)      F(x, y) :

F(x2, y) ≥ F(x1, y), x2 > x1;

F(x, y2) ≥ F(x, y1), y2 > y1.

. F(x2, y) = p(X < x2, Y < y) = p(X < x1, Y < y) + p(x1X < x2, Y < y) ≥

p(X < x1, Y < y) = F(x1, y). .

3)      :

) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞) = 0; c) F(- ∞, -∞) = 0; d) F( ∞, ∞) = 1.

. ), b) ) ( <-Y <- ∞), d) , .

4)      = :

F(x, ∞) = F1(x).

= Y :

F( ∞, y) = F2(y).

. Y < ∞ , F(x, ∞) = ( < x) = F1(x). .

8.2. (- ) - 2- :

. (8.2)

. Δ Δ

.

1)      f(x, y) ≥ 0 (. : - , , , ).

2)      (c -).

3)      ( , - , ).

.

D. , , ( ) f(x, y), D. , , Δ Δ. , - , . D ,

(8.3)

.

, , .

(8.4)

(8.4′)

.

, Y (, Y = 1). , = 1, = 2,, = , Y = 1. , . ,

.

, Y :

. (8.5)

Y:

. (8.5`)

. Y = -0,8 Y = 3 , 1.

.

8.3. φ(/) Y =

. (8.6)

Y = :

. (8.6`)

.

, f(x, y) = const 0 . f(x, y) ,

:

a < x < b, c < y < d, F(x, y) = 0 xa yc, F(x, y) = 1 xb, yd.

, , 4 , :


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