logo
Назад Далее
Главная
Содержание
Ссылки
Студентам

Версия для печати

Содержание раздела
1. Классическое определение вероятности.Алгебра событий. 2. Теорема сложения и умножения вероятностей. 3. Формула полной вероятности и формула Байеса. 4. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. 5. Законы распределения непрерывной случайной величины. 6. Нормальный закон распределения вероятностей. 7. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. 8. Случайные векторы (системы нескольких случайных величин). >> Дальше с 9 - 16
Лекция 3.

Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема и формула Бернулли. Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп  называются гипотезами.

Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:

                                                                                            (3.1)

где p(Hi) – вероятность  i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что

 

что и требовалось доказать.

Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Будем считать гипотезами Н1, Н2 и Н3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то  Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы:

 Тогда

                 

Формула Байеса (теорема гипотез).

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н3/А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

                                                                                       (3.2)

Действительно, из (2.7) получим, что   откуда следует справедливость формулы (3.2).

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 – первый попал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй попал, Н3 – оба попали, Н4 – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42,   р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12.  Тогда    р(А/Н1) = р(А/Н2) = 1,                    р(А/Н3) = р(А/Н4) = 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:

                                

             

Схема повторения испытаний. Формула Бернулли.

Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных  п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p– вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:

                                                .                                               (3.3)

Пример. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке. Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком имеют 5% изделий.

Решение. Из постановки задачи следует, что последнее купленное изделие имеет особый знак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели 4 изделия. Найдем вероят-ность этого по формуле Бернулли: Тогда

р = 0,0006092·0,05 = 0,0000304.

                 

Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний. Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появле-ний события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли:

 

Найдем предел полученного выражения при

Таким образом, формула Пуассона

                                                                                                                 (3.4)

позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких     (р мало) событий.


© ПГАТИ. Кафедра высшей математики.
Site Created by MDL Group - © 2005–2006 MDL Group. All rights reserved.