logo
Назад Далее
Главная
Содержание
Ссылки
Скачать докумены

Содержание раздела
Введение 1. Линии, поверхности и их уравнения 2. Плоскость в пространстве 3. Прямая линия 4. Взаимное положение прямой и плоскости 5. Кривые второго порядка 5.1. Окружность 5.2. Эллипс 5.3. Гипербола 5.4. Парабола

6. Преобразования системы координат на плоскости

6.1. Параллельный перенос системы координат 6.2. Поворот осей координат 7. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду 8. Полярная система координат 9. Цилиндрические поверхности 9.1. Конические поверхности 9.2. Поверхности вращения
8. Полярная система координат

Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат. Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О (рис. 15).

Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох.

Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором,
φ - полярным углом.

Прямая Ох называется полярной осью, а точка О - полюсом полярной системы координат.

Заметим, что r (как расстояние) - всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности.

Координатные линии полярной системы суть концентрические окружности с центром в точке О (r =const) и лучи, выходящие из точки О ( φ =const ).

Из рис. 16 видно, что если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось - с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

Полярные координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

Определяя величину φ из (52) и имея в виду, что r > 0, видим, что знак должен быть одинаков со знаком y, а знак - со знаком х.

Отсюда по знаку sin φ и cos φ легко установить четверть, в которой лежит искомый угол.

Пример 1. Декартовы координаты точки М(1, -1). Каковы полярные координаты этой точки?

Пример 2. Написать уравнение прямой x = 3 в полярной системе координат.

Пример 3. Построить кривую, зная, что полярные координаты ее точек удовлетворяют уравнению r = a(1 + cos φ ), (a > 0). Эта кривая называется кардиоида.

Решение. Чтобы начертить эту кривую, нужно давать φ последовательно значения от φ = 0 до φ = π (с некоторым шагом) и определять по ее уравнению соответствующие значения r. Каждой из полученных пар чисел (r, φ ) соответствует в плоскости полярной системы координат единственная точка. Построив и соединив их плавной линией, получим кардиоиду (рис. 17).

© ПГАТИ. Кафедра высшей математики.
Site Created by MDL Group - © 2005 – 2006 MDL Group. All rights reserved.